INFLUENCIA DEL PENDULO EN EL ARTE
I) UNA BREVE INTRODUCCION
El arte desempeña un papel fundamental en la comunicación, con la creación de elementos artísticos, un artista esta dando a conocer constantemente su estado de animo y las sensaciones y mensajes que quiere dar a conocer con su obra. El uso del péndulo como objeto no es una novedad, desde la antigüedad científicos ilustres como galileo Galilei lo habían utilizado para conocer aspectos importantes de la tierra, incluso había sido utilizad como sismógrafo rudimentario.
En el presente blog se estudiara la importancia e influencia del péndulo en el arte por medio de la realización de un experimento, en este nos apoyaremos de imágenes de autoría propia con su respectiva aplicación sobre el como fue posible que se realizara y los resultados obtenidos al final.
II) FUNDAMENTO MATEMATICO
El péndulo es un sistema simple donde lo único que este posee para interactuar con el medio es la fuerza de gravedad, su configuración estándar consiste en un objeto o masa suspendida de algún soporte o varilla u otro objeto que le permite medir el tiempo, Existen muchos tipos de péndulos, por ejemplo existen los péndulos balísticos, péndulos dobles, este ultimo irónicamente es objeto de estudio en el análisis de los sistemas dinámicos y teoría del caos debido a su movimiento de alta complejidad. Tambien existen péndulos esféricos etc. En este caso en particular se estudiara el movimiento de un péndulo simple.
-El péndulo simple:
En el campo de la física a este sistema se le conoce como péndulo ideal por la facilidad que resulta conocer su movimiento, este sistema consiste en una masa m que se encuentra suspendida mediante un hilo conductor de longitud L y en el cual somos libres regular la longitud y el peso que este vaya a tener. En la naturaleza es imposible la existencia de un péndulo simple, pero la ciencia nos ha permitido estudiarlo en base a la teoría existente desde la antigüedad. La existencia del péndulo fisico puede ser una contraposición a sistemas físicos de mucha mas complejidad como lo son los péndulos reales o péndulos compuestos.
Imagen 1: Diagrama de cuerpo libre de un péndulo simple.
Fuente: www.fisic.ch.com
En la imagen anterior podemos observar la descomposición vectorial de un péndulo simple, así como el diagrama de fuerzas al que se encuentra sometido, El periodo de un péndulo simple para oscilaciones muy pequeñas y no superiores a 10 grados en el sistema sexagesimal es conocido como la raíz cuadrada del cociente entre la longitud y la gravedad por 2pi, Contrario al periodo del péndulo simple se encuentra la frecuencia, que nos indica la frecuencia de oscilación del sistema.
Como nuestra constante gravitacional es única (o idealmente consideramos que es única e invariable) El periodo de un péndulo se ve sometido a cambios únicamente por la longitud de la cuerda en la que se encuentre suspendido.
Sus ecuaciones de movimiento se encuentran fundamentadas en temas de mayor complejidad como el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, tema que no será abordado en estos instantes e incluso en sistemas de mayor complejidad se encuentran fundamentados en las ecuaciones diferenciales parciales, sin embargo sus ecuaciones de movimiento nos permite tener una importante conclusión: La masa no tiene ninguna relevancia en el movimiento de un péndulo simple por lo tanto si ponemos a oscilar dos objetos con masas completamente distintas podemos darnos cuenta que sus periodos de oscilación son iguales.
- Grafica asociada al movimiento de un péndulo simple:
Imagen 2: Movimientos de un péndulo simple, Fuente: Wikipedia
Cuando las oscilaciones de un péndulo son pequeñas su grafica se asemeja mas a una función sinusoidal (Función que nos muestra una curva que describe una oscilación repetitiva y de corte suave). sin embargo esto cambia cuando su amplitud es cada vez mayor, en la grafica podemos observar un movimiento de 45 grados con respecto a un movimiento que tiende a 180 grados y las diferencias notables con respecto a sus graficas. El que descubrió los cambios con respecto a las oscilaciones de pequeña o gran amplitud fue Christian Huygens que también fue un fisico celebre por determinar importantes ecuaciones en el campo de la óptica geométrica.
Oscilaciones de amplitud mayor:
En el estudio de las ondas mecánicas se tiene en cuenta la diferencia que existe en los movimientos del péndulo simple cuando este tiene una pequeña o una gran magnitud, en el estudio de las oscilaciones de mayor amplitud que son la mayoría de las oscilaciones, sus ecuaciones de movimiento se basan en el desarrollo de series e integrales elípticas de primera especie. Movimientos con ángulos inferiores a 20 grados representan en la mayoría de casos solo el 0,2% de las oscilaciones, por lo tanto la siguiente expresión es valida cuando se tienen este tipo de oscilaciones:
Imagen 3: Dependencia del periodo del péndulo con su amplitud angular.
Esta expresión tiende a un valor de uno para ángulos pequeños pero tiende a infinito cuando su valor se acerca cada vez mas a 180 grados.
III) DESCRIPCION DETALLADA DEL EXPERIMENTO
En el desarrollo del experimento nosotros nos encargaremos de estudiar los movimientos ondulatorios que producirá nuestro péndulo, en entregas anteriores nos encargamos de describir de manera ideal como seria nuestro experimento, la descripción de como seria realizado, pero en esta parte lo llevaremos a la practica y nos daremos cuenta de lo interesante que resulta cuando se intenta plasmar con un objetivo: Un estudio artístico.
El desarrollo del experimento se realizo de acuerdo a lo descrito en los trabajos anteriores con una ligera o ninguna variación en algunos aspectos. Como primera medida se comenzó por la adquisición de los materiales para llevarlo a cabo:
Imagen 4: Adquisición de los materiales
En la imagen anterior podemos observar algunos de los materiales que se utilizaron en la elaboración del experimento algunos de ellos fueron:
- Dos pliegos de cartulina
- Dos pliegos de papel periódico
- Marcadores permanentes
- Botella plástica cortada a la mitad
- 3 metros de hilo
- Embudo
- Vinilos a base de agua de color naranja
- Cinta de enmascarar
- Reglas
- Toallas de cocina
- Arandelas metálicas
- Palos de balso 1 metro
- Agua
Descripción del respectivo uso de los materiales
Se utilizaron dos pliegos de cartulina y uno de ellos fue para estudiar la viscosidad de la pintura y la facilidad con la que se desplazaba por el agujero de la botella, fue suficiente con agregarle una taza de agua (aproximadamente 100ml) para cambiar la resistencia que tenia la pintura naturalmente para fluir pues lo que sucedía es que si se realizaba un agujero en el envase donde esta descansaba y se soltaba, la pintura no fluía, el único cambio aparente fue que en lugar de usar 1/4 de agua por cantidad de pintura como se menciono en anteriores entregas, acá la cantidad fue ligeramente mayor hasta llegar a 1/3 del total. se marco la mitad del palo de balso que era el sitio por donde pasaría nuestro hilo y el sitio ideal para que el sistema estuviera en equilibrio, al poner el envase en otro sitio del palo de balso que no fuera la mitad, este provocaba que se moviera mucho y corríamos el riesgo de que el experimento no se realizara de acuerdo a lo planeado. Los marcadores los utilizamos para marcar puntos estratégicos sobre el palo de balso y para realizar marcas sobre la botella que nos indicaban el punto exacto donde esta tenia que ser perforada, hicimos uso de una arandela metálica para situar el hilo justo en la mitad del palo de balso y que este no se desplazara, en el desarrollo del experimento no se hizo uso de mucho hilo sin embargo se compro suficiente con el fin de asegurar los palos de balso al soporte, el soporte que utilizamos no fue construido, como se indico en la anterior entrega donde se menciono que se podía hacer uso de dos sillas, utilizamos dos sillas juntas y la fijamos a nuestro palo de balso para que este no se movilizara
Delimitación de la zona de trabajo
Imagen 5: Delimitación de la zona de trabajo
Para delimitar la zona de trabajo hicimos uso de dos pliegos de papel periódico y un pliego de cartulina, ambos extremos de los pliegos de papel periódico fueron unidos con cinta y fijados al suelo para que no se movilizaran, el área neta debe tener un área aproximada de 3m2 que es la zona donde va a caer la pintura o el vinilo que se adquirió para esto, Es importante que antes de poner la pintura, el envase, el hilo etc. experimente con la viscosidad de la pintura, esto para no manchar innecesariamente la zona de trabajo, en este caso fue mas un hecho de prueba y error, pues al mezclar los vinilos, le agregue agua lentamente y solté el agujero con el fin de observar si la pintura tenia la textura perfecta y fluía con la suficiente rapidez, recuerde sellar el agujero con cinta de enmascarar o cinta aislante.
Luego de tener todos los materiales listos, comenzamos a realizar el montaje experimental, en un informe o investigación es de vital importancia tener un montaje experimental, esto nos permite ubicarnos sobre cual es su funcionamiento o hacernos una idea sobre que es lo que se esta buscando demostrar y realizar.
El montaje experimental es el paso inmediatamente anterior al funcionamiento del experimento, en este punto todos los materiales ya tienen un objetivo para el cual van a ser utilizados, el montaje experimental estuvo conformado de la siguiente manera:
Imagen 8: Amplitud en un péndulo simple
Estudiar la amplitud del péndulo es darnos cuenta que el movimiento de un péndulo se trata de un movimiento armónico amortiguado, tengamos presente que no puede tratarse de un movimiento armónico simple puesto esto supondría que idealmente el péndulo tendría la misma amplitud siempre y no se tendrían en cuenta factores fundamentales como la fricción y los tipos de energía, potencial, cinética y mecánica.
El estudio de los osciladores amortiguados implica estudiar ecuaciones diferenciales de orden superior y derivadas de segundo orden, este no es el caso por lo tanto, no lo abordaremos directamente. Un oscilador amortiguado tiene uno o mas grados de libertad, es decir desde el momento t=0 que es el instante preciso en el que el péndulo es soltado hasta el periodo de tiempo t=n, el oscilador ha sido desplazado de su posición de equilibrio, por lo tanto, en este caso nuestro péndulo que esta conformado por un hilo y un envase con pintura, comenzara a moverse intentando regresar a su posición de equilibrio pero describiendo movimientos de funciones sinusoidales que intentan converger a dicha posición nuevamente.
Existen muchos tipos de osciladores, sobre amortiguados o osciladores con sobre amortiguamiento critico, pero nuestro sistema es un sistema que presenta un movimiento únicamente amortiguado. Estudiar su solución del sistema implica tener conocimiento mas a profundidad de calculo pero se trata de un sistema con solución única .
Imagen 9: Amplitud de un oscilador amortiguado con respecto al tiempo. Fuente:www.sc.ehu.es.com
Obsérvese la linea azul, en el estudio de las soluciones de un oscilador, algunas de ellas vienen determinadas por funciones exponenciales, las cuales indican las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias, en el caso de un oscilador amortiguado podemos darnos cuenta que es uno mas cercano a la realidad, pues después del instante t=0 presenta un decaimiento con respecto a su amplitud, muy distinto a un oscilador armónico considerado ideal.
Comienzo -fin del experimento.
Posterior a la explicación de un oscilador amortiguado, damos inicio al experimento, quitamos la cinta que tenia sellado el agujero y soltamos sin una gran cantidad de fuerza nuestro péndulo, inmediatamente desde el instante t=0, la pintura comienza a dejar un rastro sobre el papel (siempre que este bien diluida), nos damos cuenta al observar el papel, que NO existe una linea que sea repasada mas de una vez por el oscilador, es decir que cada traza de pintura es única , como se trata de un oscilador amortiguado notamos que con el pasar del tiempo, la amplitud comienza a disminuir pero ojo, el periodo permanece constante, también notamos que el péndulo intenta converger hacia su posición de equilibrio inicial esto lo notamos por los movimientos semicirculares que comienza a tomar el péndulo con el transcurrir del tiempo. El movimiento total del péndulo no es muy duradero, en aproximadamente minuto y medio debería estar terminado, posterior a eso el resultado final fue el siguiente:
Imagen 10: Resultado final y montaje experimental
Imagen 11: Resultado final
Estas imágenes son muy interesantes pues nos demuestran el gran nivel de precision que tiene este tipo de movimientos, es tan preciso que si nos fijamos, en los extremos de la pintura se ven unas ondas únicas que corresponden a los primeros instantes del movimiento, también la forma tan precisa que se forma por la pintura, un tipo de malla con agujeros muy similares casi idénticos entre si, y la forma característica de paraboloide hiperbólico que posee. Existe una traza de pintura que no es simétrica, es la que se encuentra en la parte inferior derecha y corresponde al momento en donde se dio por terminado el movimiento, al detener el envase se formo este deposito de pintura.
ALGUNAS IMAGENES:
Imagen 12: Experimento en desarrollo
Imagen 13: Algunos de los materiales utilizados
Imagen 14: Montaje antes de realizar el experimento
IV) COMENTARIOS
El desarrollo del experimento pudimos observar la importancia del péndulo en el arte, el arte es una forma de comunicación que nos permite cuestionar nuestra existencia, nuestra forma de pensar, el arte es una actividad humana que nos permite, recurrir a nuestras emociones y al uso de la inteligencia para crear obras con característica estéticas particulares. El arte utilizado aquí tiene principios matemáticos y de hecho muchas piezas del arte hacen uso de la matemática directamente, como el uso de figuras geométricas convencionales para la creación de retratos. El desarrollo de este proyecto nos permitió establecer los principios físicos y matemáticos detrás de un oscilador simple y amortiguado y guiarnos con graficas para conocer con precision que sucedía con el transcurrir del tiempo, pudimos sustentarlo con fotografías de autoría propia sobre como transcurrió el experimento para dar con un resultado final.
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